Задача 77883

Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг радиусом , покрывающий всю ломаную.

Решение

Возьмём на ломаной две точки A и B, делящие её периметр пополам. Тогда AB1/2. Докажем, что все точки ломаной лежат внутри круга радиуса 1/4 в центром в середине O отрезка AB. Пусть M — произвольная точка ломаной, а точка M₁ симметрична ей относительно точки O. Тогда MO = M₁M/2(M₁A + AM)/2 = (BM + AM)/21/4, так как BM + AM не превосходит половины длины ломаной.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	4