Задача 77880

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Показать, что  27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  делится на 26460.

Решение

Заметим, что  26460 = 2²·3³·5·7².  Представим число  A = 27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  в виде  27195⁸ – (10887⁸ – 10152⁸).  Это число делится на 5·7². Действительно,  27195 = 3·5·7²·37,  а разность  10887⁸ – 10152⁸  делится на  10887 – 10152 = 735 = 3·5·7².  С другой стороны,
A = (27195⁸ – 10887⁸) + 10152⁸,  откуда видно, что число A делится на 2²·3³. Действительно,  27195⁸ – 10887⁸  делится на
27195 – 10887 = 16308 = 2²·3³·151,  а  10152 = 2³·3³·47.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	1