Задача 76553

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ лежит выпуклый четырёхугольник A₅A₆A₇A₈. Внутри A₅A₆A₇A₈ выбрана точка A₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Решение

Предположим, что требуемого выпуклого пятиугольника нет. Проведём из точки A₉ лучи через точки A₅, A₆, A₇, A₈. Эти лучи разбивают плоскость на 4 угла, каждый из которых меньше 180^o. Если внутри одного из этих углов лежат две из точек A₁, A₂, A₃, A₄, то мы немедленно получаем требуемый пятиугольник. Поэтому внутри каждого из этих углов лежит ровно одна из указанных точек. Но тогда внутри каждого из двух углов, образованных лучами A₉A₅ и A₉A₇, лежат две из указанных точек. Рассмотрев тот из углов, который меньше 180^o, снова получаем требуемый пятиугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	10
Год	1947
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	5