Условие
В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они
равны.
Решение
Проведём через прямую
AB плоскость, параллельную прямой
CD. Пусть
C' и
D' — проекции точек
C и
D на эту плоскость. Покажем, что прямая
AB
делит отрезок
C'D' пополам. Действительно, проекция тетраэдра
ABCD на
плоскость, перпендикулярную прямой
AB, представляет собой равнобедренный
треугольник, поскольку две его стороны равны высотам (равновеликих)
треугольников
ACB и
ADC, опущенных из вершин
C и
D на сторону
AB.
Аналогично доказывается, что прямая
CD делит пополам проекцию ребра
AB на
плоскость, проходящую через прямую
CD параллельно прямой
AB. Таким образом,
AC'BD' — параллелограмм. Из равенства
BC' =
AD' следует равенство
BC =
AD.
Равенства длин остальных пар противоположных рёбер доказываются аналогично.
Источники и прецеденты использования
