Задача 76434

Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Доказать формулы
  а)  [a, b](a, b) = ab.
  б)  [a, b, c](a, b)(b, c)(c, a) = (a, b, c)abc.

Решение

  а) Первый способ. См. задачу 30371.
  Второй способ. Пусть     Тогда  
  Поэтому доказательство можно провести для каждого простого множителя отдельно. Если  a = p^α,  b = p^β,  причём  α ≤ β, то  (a, b) = p^α,
[a, b] = p^β  и  [a, b](a, b) = p^αp^β = ab.

  б) Достаточно рассмотреть случай, когда  a = p^α,  b = p^β, c = p^γ, причём  α ≤ β ≤ γ.  В этом случае
[a, b, c](a, b)(b, c)(c, a) = p^γp^αp^βp^α = p^αp^αp^βp^γ = (a, b, c)abc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Тур	2
Серия	C
задача
Номер	3