Условие
В двух различных плоскостях лежат два треугольника:
ABC и
A1B1C1. Прямая
AB пересекается с прямой
A1B1, прямая
BC — с
прямой
B1C1, прямая
CA — с прямой
C1A1. Доказать, что прямые
AA1,
BB1 и
CC1 или все три пересекаются в одной точке, или
параллельны друг другу.
Решение
Рассмотрим плоскости
ABA1B1,
BCB1C1 и
ACA1C1. Пересечением первых
двух плоскостей служит прямая
BB1. Если третья плоскость пересекает прямую
BB1 в некоторой точке, то эта точка является как точкой пересечения
трёх указанных плоскостей, так и точкой пересечения прямых
AA1,
BB1 и
CC1. Действительно, прямые
AA1 и
CC1 являются пересечениями пар
плоскостей, поэтому точка пересечения трёх плоскостей им принадлежит.
Если же третья плоскость параллельна прямой
BB1, то прямые
AA1,
BB1 и
CC1 параллельны друг другу. Действительно, в этом случае
пересечения пар плоскостей являются тремя параллельными прямыми.
Источники и прецеденты использования
