ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76414
Темы:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Средние величины ]
Сложность: 2
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.


Решение

Пусть $x$ и $y$ – искомые числа. По условию $\frac{x+y}{2 \sqrt{xy}} = \frac{25}{24}$, то есть $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{25}{12}$. Положив $q=\sqrt{\frac{x}{y}}$, получим квадратное уравнение $q^2-\frac{25}{12} q+1=0$. Его корни $q_1=\frac{4}{3}$ и $q_2=\frac34$. Соответственнно, $x \colon y = 16 \colon 9$ или $9 \colon 16$.

Ответ

16 : 9  или  9 : 16.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Вариант 1
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .