|
|
 |
Условие
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),Решение
В обоих вариантах игры побеждает начинающий. Это справедливо и для любой шоколадки из mn долек (размером m×n), где mn четно (за исключением случая шоколадки 2×n с нечетным n в варианте б) — здесь ответ зависит от mn.)Мы рассмотрим сразу общий случай. Интересно, что выигрышные стратегии в "противоположных"; вариантах а) и б) почти совпадают.
а) Стратегия, обеспечивающая выигрыш начинающему, такова. Хотя бы одно из чисел m и n четно – пусть это будет m (m=2k). Первым ходом начинающий разламывает шоколадку на две одинаковые половины (по n×k долек). Затем каждый ход второго он дублирует на другой половине шоколадки. Таким образом, после каждого хода первого игрока обе половины будут разломаны совершенно одинаковым образом. Ясно, что при этом первый не отломит дольку 1×1 раньше, чем это сделает второй.
б) Здесь при четном m>2 и n>1 начинающий может
использовать ту же "симметричную" стратегию до тех
пор, пока второй не отломит полоску шириной 1; первый
тут же отламывает он нее дольку 1×1 и выигрывает.
В варианте б) игры "симметричная" стратегия для шоколадки
2×n не годится – отламывать полоску шириной 1
нельзя (это немедленно ведет к проигрышу), так что
шоколадку можно ломать только "поперек". Возникает
совсем другая задача, более сложная задача, подробное исследование которой
предоставляется читателю.
Ответ для нечетного mn в общем случае нам неизвестен
ни для варианта а), ни для варианта б) игры.
