ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73792
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Замена переменных ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x1, x2, ..., xn, если
  а)  p = 1;
  б)  p = 4/3;
  в)  p = 6/5?


Решение

  Заметим, что если положить в неравенстве     несколько последних переменных xk, xk+1, ..., xn равными нулю, то получится аналогичное неравенство, соответствующее меньшему n . Отсюда следует, что если (*) выполняется (для всех x1, x2, ..., xn) при некотором n , то оно выполняется и при меньших n. Таким образом, для каждого фиксированного p существует таксе целое  N(p) ≥ 2,  что (*) выполнено при  n < N(p)  и не выполнено (для некоторых x1, x2 , ..., xn) при  n ≥ N(p);  возможно также, что (*) выполнено при всех n (в этом случае можно считать, что  N(p) = ∞).

  а) При  p = 1  неравенство (*) эквивалентно очевидному неравенству    . Значит,  N(1) = ∞.

  б) При  p = 4/3  и  n = 3  неравенство (*) эквивалентно неравенству     а при  n = 4  неравенство (*) нарушается, например, когда  x1 = x4 = 2,   x2 = x3 = 3.

  в) При  p = 6/5  и  n = 4  (*) эквивалентно неравенству   а при  n = 5  оно нарушается, например, когда  x1 = x5 = 9,  x2 = x4 = 15,  x3 = 16.


Ответ

а) При всех n;   б) при  n ≤ 3;   в) при  n ≤ 4.

Замечания

  1. В п. б) при n = 4 неравенство (*) эквивалентно такому:     отсюда и возник наш пример. В п. в) пример также возникает естественным образом, если преобразовать (*) к виду  

  2. Легко показать, что N(p) бесконечно при  p ∈ [0, 1]  и конечно при  p > 1,  причём  N(p) = 2  при  p > 2.
  В принципе при каждом  p > 1  можно найти N(p), преобразовав левую часть (*) к сумме квадратов (заботиться о симметричности формул и о том, чтобы коэффициенты получались целыми или рациональными, вовсе не обязательно). Например, можно привести (*) к виду     последовательно полагая  
(s1 = 1,  k = 1, 2, ...).  Тогда     при  n < N(p)  и  rn < 0  при  n = N(p).  Таким образом,  N(p) – 1  (наибольшее n, при котором (*) ещё выполняется) равно числу ступеней "лестницы", заключенной между графиками  s² + t² = 1,  st = p/2  и начинающейся в точке  s = 1,  t = 0,  (см. рис.; чем ближе p к единице, тем ближе расположена гипербола к окружности и тем больше ступеней имеет лестница).

  Пусть pk – значение p, при котором лестница симметрична относительно биссектрисы  s = t  (заканчивается в точке  s = 0,  t = 1)  и содержит k ступеней; ясно, что последовательность  p1 = 2 > p2 > p3 > ...   стремится к 1 и  N(p) = k + 1  при  pk–1p > pk.  Нетрудно доказать, что     но следующие pk находятся уже из громоздких уравнений, сводящихся к алгебраическим уравнениям высокой степени.
  Поскольку  N(4/3) = 4,  N(6/5) = 5,  то  p2 > 4/3 > p3 > 6/5 > p4.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М257

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .