Задача 67577

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Каждую вершину куба окрасили в чёрный или белый цвет. Обязательно ли найдётся равнобедренный треугольник, все вершины которого одного цвета? (Учитываются и треугольники, не лежащие в одной грани куба.)

Ответ

Не обязательно, см. рисунок.

Замечания

1. В примере на рисунке вершины одного цвета образуют прямоугольник, не являющийся квадратом. А значит, любой одноцветный треугольник — неравнобедренный прямоугольный треугольник.

2. Объясним, как можно найти решение и доказать, что оно единственно (с точностью до поворотов куба). Если среди соседних вершин куба нет одноцветных, то получается раскраска на рисунке внизу, в которой есть одноцветный равносторонний треугольник: со сторонами, являющимися диагоналями граней.

Если же в какой-то грани есть две соседние вершины одного цвета, то, чтобы в ней не было одноцветных равнобедренных треугольников, две оставшиеся вершины в этой грани должны быть другого цвета — как на передней грани на верхнем рисунке. Но теперь можно применить то же рассуждения к левой и к правой граням и восстановить раскраску всех вершин.

3. Есть много интересных вопросов о существовании равнобедренных треугольников с вершинами одного цвета при произвольной раскраске какого-нибудь набора точек. Например, такой треугольник существует для любой раскраски точек окружности в два цвета (докажите) или в любое конечное число цветов (это уже непросто доказать).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2026
класс
Класс	7
задача
Номер	2