Задача 67569
|
|
 |
Условие
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Через точки $A$, $B$, $C$, $D$ проведена произвольная коника. Рассмотрим четыре прямые, получающиеся при изогональном сопряжении этой коники относительно треугольников $ABC$, $ABD$, $BCD$, $ACD$. Докажите, что четырёхугольник, образованный этими прямыми, – описанный.Решение 1
Уравнение произвольной коники, проходящей через $A$, $B$, $C$, $D$, имеет вид $tF_1(x,y)+(1-t)F_2(x,y)=0$, где $F_1(x,y)=0$, $F_2(x,y)=0$ – уравнения двух проходящих через $A$, $B$, $C$, $D$ парабол. Изогональные образы этих коник относительно треугольника $ABC$ – параллельные прямые, так как образом точки $D$ является бесконечно удаленная точка. Очевидно, что при равномерном изменении $t$ соответствующая прямая тоже движется равномерно. При этом изогональные образы описанных парабол касаются окружности $ABCD$. Следовательно, изогональные образы любой коники равноудалены от центра окружности $ABCD$.Решение 2
Обозначим через $X$ и $Y$ бесконечно удалённые точки данной коники. Пусть $X_a$ и $Y_a$ – точки, изогонально сопряжённые относительно треугольника $BCD$ с $X$ и $Y$ соответственно. Заметим, что $\overset{\frown}{X_aY_a} = 2\angle (X, Y)$, то есть эта дуга не зависит от выбора треугольника. Если дуги, которые отсеклись прямыми – изогональными образами коники, равны, то равны и расстояния от центра описанной окружности до этих прямых.Примечание. Если коника – эллипс, точки $X$, $Y$, $X_a$, $Y_a$ будут мнимыми, но равенство $\overset{\frown}{X_aY_a} = 2\angle (X, Y)$ выполнено и в этом случае.
