Условие
В треугольнике $ABC$ отмечены центроид $M$, ортоцентр $H$ и
точка Лемуана $L$. Точка $S$ такова, что окружности $SLH$, $SML$ касаются $MH$, а $L'$ инверсна $L$ относительно описанной окружности. Докажите, что $SL'\parallel MH$.
Решение 1
Воспользуемся следующим свойством
равносторонней гиперболы.
Пусть точки $A$, $B$ лежат на равносторонней гиперболе центром $O$. Касательные в точках $A$, $B$ к гиперболе пересекаются в точке $S$. Тогда $O$ – это точка Шалтая треугольника $SAB$, соответствующая вершине $S$.
Действительно, построим прямоугольник $AUBV$ со сторонами, параллельными асимптотам гиперболы. Точки $U$, $V$, $O$, $S$ лежат на одной прямой и образуют гармоническую четверку, следовательно, $O$ и $S$ инверсны относительно окружности с диаметром $AB$.
Применим это свойство к гиперболе Киперта $ABCMH$. Касательные к ней в точках $M$, $H$ пересекаются в точке $L$, следовательно, $S$ – центр гиперболы, т.е. середина отрезка $T_1T_2$ между двумя точками Торричелли. С другой стороны, $L'$ – середина отрезка $T_1'T_2'$ между двумя точками Аполлония. Но $T_1T'_1\parallel T_2T'_2\parallel MH$.
Решение 2
Пусть $\Gamma$ – эллипс с фокусами $O, H$, вписанный в $ABC$. Будем вращать $ABC$ по Понселе между описанной окружностью и $\Gamma$. При этом $H$ всегда будет оставаться ортоцентром $ABC$ как изогональный образ центра описанной окружности $O$, поэтому и центр тяжести $M$, и окружность девяти точек будут фиксированы. Точка $S$ лежит на окружности девяти точек, как центр гиперболы Киперта, следовательно, ее инверсный образ – точка $L$ будет двигаться по окружности $\Delta$, центр которой лежит на $MH$, причем $O$ и середина $MH$ инверсны относительно этой окружности. Точка $L'$ как инверсный образ $L$ относительно описанной окружности $ABC$ тоже движется по окружности, причем угловые скорости точек $L'$ и $S$ равны. Несложно убедиться, что радиус окружности, по которой движется $L'$ равен радиусу окружности девяти точек. Следовательно, $SL'\parallel MH$.
Замечания
Точки $S$ и $L'$ симметричны относительно радикальной оси описанной окружности и точки $M$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.4 |
