Задача 67559

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Михайлов И.

В треугольнике $ABC$ $BE$ и $CF$ – высоты, внутренние биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, а внешние в точке $J$. Докажите, что $IJ > EF$.

Решение

По теореме о трилистнике $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $IJ$, следовательно, $BC\leq IJ$. С другой стороны, из подобия треугольников $ABC$ и $AEF$ получаем $EF=BC\cos\angle A < BC$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5