Условие
Можно ли отметить на плоскости больше шести точек, не лежащих на одной прямой, и раскрасить их в три цвета так, чтобы на любой прямой, проходящей через две разноцветные точки, лежала еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в третий цвет?
Решение
Пусть точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на прямой $\ell_1$, точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ лежат на прямой $\ell_2$, прямые $A_1B_2$ и $A_2B_1$ пересекаются в точке $C_3$, прямые $A_1C_2$ и $A_2C_1$ пересекаются в точке $B_3$, прямые $B_1C_2$ и $B_2C_1$ пересекаются в точке $A_3$. Тогда по
теореме Паппа точки $A_3$, $B_3$, $C_3$ лежат на одной прямой.
Теперь, если покрасить в один цвет точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, в другой $B_1$, $B_2$, $B_3$ и в третий $C_1$, $C_2$, $C_3$, то условие задачи будет выполнено.
Ответ
Да.
Замечания
Используя сложение точек на кривой третьего порядка, можно построить пример со сколь угодно большим числом точек: возьмем точку $P$ такую, что $3nP=0$, и покрасим в один цвет все точки вида $3kP$, в другой – точки вида $(3k+1)P$ и в третий – точки вида $(3k-1)P$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.3 |
