Задача 67512
|
|
 |
Условие
Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг неё собрались котята. Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят (на свой выбор), причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли хозяйка скормить котятам поровну мяса, если всего котят а) двое; б) трое?Решение
Пусть вес исходного куска равен 1, а вес куска, оставшегося после первого отрезания, равен $a$. Тогда доля отрезаемого куска каждый раз равна $1 - a$. Значит, вес второго отрезанного куска равен $a(1 - a)$, а вес оставшегося равен $a - a(1 - a) = a^2$, и так далее: после $k$-того отрезания вес оставшегося куска равен $a^k$, а вес отрезанного равен $(1 - a)a^k$. Сократив на $(1 - a)$, получим, что задачу можно переформулировать так:для некоторого $a$ между $0$ и $1$ и натурального $k$ нужно разбить числа $1, a, a^2, \ldots, a^{n-1}$ на группы с равными суммами (две группы в пункте а) и три группы в пункте б)).
а) Заметим, что квадратное уравнение $1 = x + x^2$ имеет корень $a$ между 0 и 1 (например, потому, что при $x=0$ правая часть меньше 1, а при $x=1$ она больше 1; или можно явно найти этот корень: $a=\frac{\sqrt5+1}2$). Мы нашли нужное разбиение чисел $1$, $a$, $a^2$ на две части с равными суммами: $\{1 \}$ и $\{a,a^2\}$. (Тогда, отдав одному котенку первый кусочек, а другому — два следующих, хозяйка получит желаемый результат.)
б) См. решение задачи 67453.
