Условие
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Решение
Рассмотрим выражение $(x+2)^3=x^3+6 x^2+12 x+8$. Заметим, что если натуральное число $x$ оканчивается на $40 \ldots 0$ (всего $n+1$ нуль, где $n$ – натуральное), то это выражение примет значение, оканчивающееся на $80 \ldots 08$ ($n$ нулей между восьмёрками):
$$(4\cdot 10^{n+1}+2)^3=64\cdot 10^{3n+3}+96\cdot 10^{2n+2}+48\cdot 10^{n+1}+8.$$
Поэтому можно дописать несколько цифр в начало нового числа так, чтобы получилось число $40\ldots02^3$. Отметим, что подойдёт также число $90\ldots02^3$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
Номер |
88 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
