Задача 67455
|
|
 |
Условие
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если $x$ является числом Сумматора, а $y$ является числом Вычитатора, то $x+y$ является числом Сумматора, а $y - x$ является числом Вычитатора. Обязательно ли все числа Сумматора являются числами Вычитатора?Решение
Пусть $a$ – некоторое число Вычитатора, $b$ – некоторое число Сумматора.Лемма. Если $x$ – число Сумматора, то $-x$ является числом Вычитатора.
Действительно, по условию получаем, что сумма чисел $a$ и $x$ является числом Сумматора. Тогда разность $a - (a + x) = -x$ является числом Вычитатора. Лемма доказана.
Вернёмся к задаче. Пусть $x$ – произвольное число Сумматора. По лемме число $-x$ является числом Вычитатора. Значит, разность чисел $-x$ и $b$ является числом Вычитатора. Но тогда сумма чисел $-x - b$ и $b$, что равно $-x$, является числом Сумматора. Снова применяя лемму, получаем, что $-(-x)=x$ – число Вычитатора, что и требовалось.
