Задача 67424
|
|
 |
Условие
Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?Решение
Заметим сначала, что квадрат со стороной на гипотенузе $AB$ вписывается в прямоугольный треугольник $ABC$ однозначно. (Например, потому, что если есть два таких квадрата, то гомотетия с центром в точке $C$ переводит один из них в другой, оставляя при этом $AB$ на месте, значит, коэффициент равен $1$.) Далее можно действовать по-разному.Решение 1. Заметим, что все прямоугольные треугольники в задаче подобны. Значит, вписанные квадраты занимают в них одинаковую долю площади. Поэтому сумма площадей малых квадратов равна площади большого, так как это верно для содержащих их треугольников.
Решение 2. Отразим прямоугольный треугольник относительно гипотенузы, один из треугольников разобьём высотой на два, впишем в них квадраты (см. рисунок). Поскольку треугольники подобны, то вершины квадратов разбивают катеты в одном и том же отношении, поэтому совпадения вершин квадратов не случайны. Тогда по теореме Пифагора для треугольника, заключённого между квадратами, сумма площадей малых квадратов равна площади большого. Дважды заменяя в задаче пару малых квадратов на один вписанный той же площади, оставим только два квадрата, вписанные в равные треугольники. Значит, спрашиваемые в задаче площади равны.
