Условие
В последовательности действительных чисел $a_1$, $a_2$, ... каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y = x^2 + a_nx + a_{n+1}$ (где $n$ = 1, 2, 3, ...) имеют общую точку.
Решение
Так как $$\frac12 a_{n+1} + a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{2} + \frac{a_{n+1} + a_n}{2} = \frac12 a_n + a_{n+1},$$
то $(n+1)$-я и $n$-я параболы пересекаются в точке с абсциссой $x = \frac12$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
