ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67112
Темы:    [ ГМТ (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

Решение

Проведем через $O$ прямые $a$, $b$, $c$, параллельные соответственно $BC$, $CA$, $AB$, и опустим на них перпендикуляры $PA''$, $PB''$, $PC''$. Заметим, что точки $A''$, $B''$, $C''$ лежат на окружности с диаметром $OP$ и $\angle A''C''B''=\angle A''PB''=60^{\circ}$ (см. рис.). Следовательно, треугольник $A''B''C''$ равносторонний и его центр тяжести совпадает с серединой $OP$. Центр тяжести треугольника $A'B'C'$ находится в той же точке, потому что сумма векторов $\overrightarrow{A'A''}+\overrightarrow{B'B''}+\overrightarrow{C'C''}=\overrightarrow{0}$.


Ответ

Середина отрезка $OP$, где $O$ – центр данной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2022
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .