Задача 67111
|
|
 |
Условие
Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.Решение
Заметим, что точка пересечения серединного перпендикуляра к $CD$ и прямой $AB$ лежит на обеих окружностях $BCM$ и $AMD$ и, значит, совпадает с точкой $E$. Поэтому $\angle CFD=\angle EBC=90^{\circ}$ и $CM=FM=MD$. Также $G$, $F$, $M$, $D$ лежат на одной окружности, потому что $\angle BGA=\angle GBC=\angle FMD$. Значит $GM$ – биссектриса угла $BGD$, так как $FM=MD$.
