Условие
В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$.
Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре.
Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.
Решение
Рассмотрим композицию инверсии с центром $O$ и радиусов $\sqrt{OA_1\cdot OA_2}$ и центральной симметрии относительно $O$. Она меняет местами точки $A_1$, $A_2$, сохраняет окружность $\Omega$ и переводит окружность с диаметром $OA_1$ в прямую, перпендикулярную $A_1A_2$. Следовательно, точки $B_1$, $B_2$ перейдут в точки $C_1$, $C_2$, диаметрально противоположные $A_2$, $A_1$, а прямая $B_1B_2$ в окружность $C_1C_2O$. Пусть эта окружность вторично пересекает прямые $A_2A_1$ и $A_2C_1$ в точках $X$, $Y$ соответственно (см. рис.). Тогда $A_2X=OA_1$, т.е. степень $A_2$ относительно окружности не зависит от выбора хорды. Поэтому степень центра $O_1$ окружности $\Omega$ тоже не зависит от выбора хорды и все окружности пересекают прямую $OO_1$ в одной и той же точке.
Источники и прецеденты использования
