Задача 67068
|
|
 |
Условие
На Поле Чудес выросло 8 золотых монет, но стало известно, что ровно три из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино три монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь?Решение 1
Пусть сначала Буратино сравнит три свои монеты с тремя монетами Алисы. Если его чаша окажется легче, то у него есть фальшивые монеты. В случае равновесия – тоже есть, поскольку настоящих монет всего пять. Пусть чаша Буратино тяжелее (то есть на чаше Алисы фальшивых монет больше). Тогда он заменит две монеты с чаши Алисы на ещё неиспользованные. Если и теперь чаша Буратино перевесит, то все монеты у него настоящие: иначе оба раза на чаше Алисы было по две фальшивые монеты, что невозможно. В противном случае, как показано выше, какие-то из монет Буратино фальшивые.
Решение 2
Достаточно использовать только три монеты $(a, b, c)$ Буратино и одну монету $(d)$ Лисы. Сначала Буратино сравнит $c$ с $d$. Если $c < d$, то монета $c$ фальшивая.В противном случае он сравнит $a + b$ с $c + d$. Если при первом взвешивании $c > d$, то монета $c$ настоящая, а $d$ фальшивая. Тогда Буратино устраивает только результат $a + b > c + d$.
Если же $c = d$, то Буратино устраивает только результат $a + b = c + d$ (поскольку четырёх фальшивых монет нет).
