Натуральное число $k$ назовём интересным, если произведение первых $k$ простых чисел делится на $k$ (например, произведение первых двух простых чисел – это  2·3 = 6,  и 2 – число интересное).
Какое наибольшее количество интересных чисел может идти подряд?

   Решение

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

   Решение

Дан отрезок $AB$. Точки $X, Y, Z$ в пространстве выбираются так, чтобы $ABX$ был правильным треугольником, а $ABYZ$ – квадратом.
Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников $XYZ$ попадают на некоторую фиксированную окружность.

   Решение

Дан отрезок  [0, 1].  За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит ½.

   Решение

В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки, которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?

   Решение

Тема:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки, которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?

Решение

  Занумеруем строки и столбцы числами от –1010 до 1010. Через $n$ минут будут закрашены клетки, до которых хромая ладья (за ход сдвигается на соседнюю клетку) дойдёт от одной из исходных клеток не более чем за $n$ ходов.
  Пример. Закрасим клетки  $A$(–505, 0)  и  $B$(505, 0).  За 1515 ходов ладья дойдёт из $B$ до любой клетки правой половины доски (клетки  ($x, y$)  с неотрицательным $x$): потребуется не более 505 ходов по горизонтали и не более 1010 по вертикали. Аналогично из $A$ ладья дойдёт до любой клетки левой половины.
  Оценка. Назовём расстоянием между клетками сумму расстояний между ними по вертикали и по горизонтали. Оно равно минимальному числу ходов, за которое хромая ладья сможет дойти из одной клетки в другую (и поэтому удовлетворяет неравенству треугольника). Пусть все клетки будут чёрными через 1514 минут. Противоположные угловые клетки не могут быть "обслужены" одной ладьёй: расстояние между ними больше чем  2·1514.  Поэтому каждая ладья "обслужила" две угловые клетки с одной стороны, например ладья из клетки $A$ – обе левые:  (–1010, ±1010),  а ладья из клетки $B$ – обе правые:  (1010, ±1010).  Но тогда вторая ладья не успела дойти ни до одной из клеток  (0, ±1010):  расстояние от такой клетки до противоположной угловой клетки равно  3030 > 2·1514.  Аналогично и первая ладья не дошла до этих клеток. Противоречие.

Ответ

Через 1515 минут.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования