Условие
Волейбольный чемпионат с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть $A$ выиграла у $B$, $B$ выиграла у $C$, а $C$ выиграла у $A$).
Решение
Рассмотрим команды $A$ и $B$, одержавшие одинаковое число побед, и пусть в матче между ними победила команда $A$. Покажем, что обязательно найдется команда $C$, которая выиграла у команды $A$, но проиграла команде $B$. Рассмотрим все команды, у которых выиграла команда $B$. Среди них найдётся хотя бы одна команда, которая выиграла у команды $A$, так как в противном случае с учётом выигрыша у команды $B$ команда $A$ набрала бы больше очков, чем команда $B$. Таким образом, тройка команд $A$, $B$, $C$ удовлетворяет условию задачи.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
