Условие
На стороне правильного восьмиугольника во внешнюю сторону построен квадрат. В восьмиугольнике проведены две диагонали, пересекающиеся в точке $B$ (см. рисунок). Найдите величину угла $ABC$.
(Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.)
Решение
Заметим, во-первых, что угол правильного восьмиугольника равен $6\cdot180^{\circ}/8 = 135^{\circ}$. Обозначим вершины восьмиугольника так, как на рисунке ниже.
Заметим, что $KLDE$ – равнобокая трапеция, поэтому угол $BED$ равен $45^{\circ}$, а угол $FEB$ равен $135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$. Далее, $HD$ – ось симметрии восьмиугольника, поэтому угол $HDE$ равен $135^{\circ}/2 = 67{,}5^{\circ}$. Отсюда получается, что в треугольнике $BDE$ углы $B$ и $D$ равны, а значит, $EB = ED = EF = FC$. Треугольники $BEF$ и $FCA$ равны по двум катетам, значит, $BF = FA$. Далее, угол $F$ равнобедренного прямоугольного треугольника $BEF$ равен $45^{\circ}$,
поэтому угол $GFB$ прямой. Отсюда точки $C,F,B$ лежат на одной прямой. Угол $AFB$ равен сумме углов $AFG$ и $GFB$, то есть $135^{\circ}$. Теперь заметим, что сумма равных углов $FBA$ и $FAB$ равна $45^{\circ}$, значит, угол $ABC$ равен $45^{\circ}/2 = 22{,}5^{\circ}$.
Ответ
$22{,}5^{\circ}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
