На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

   Решение

Тема:    [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведен луч $l$ из вершины $B$. На луче внутри треугольника взяты точки $P$ и $Q$ так, что $\angle BAP=\angle QCA$. Докажите, что $\angle PAQ=\angle PCQ$.

Решение

Пусть $R$ – точка, изогонально сопряженная $P$ относительно треугольника $ABC$, а точка $Q'$ симметрична $R$ относительно оси симметрии $ABC$. Тогда $\angle ABQ'=\angle CBR=\angle ABP=\angle ABQ$ и $\angle ACQ'=\angle CAR=\angle BAP=\angle ACQ$. Следовательно, точки $Q$ и $Q'$ совпадают и $\angle CAQ=\angle ACR=\angle BCP$ (см. рис.). Значит (мы рассматриваем случай, когда точки $B$, $P$, $Q$ лежат на луче $l$ именно в таком порядке, другой случай аналогичен), $$\angle PAQ=\angle A-\angle BAP-\angle CAQ =\angle C-\angle ACQ-\angle BCP=\angle PCQ.$$

Источники и прецеденты использования