Условие
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямая проходящая через середину его высоты $CH$ и вершину $A$ пересекает $CB$ в точке $K$. Пусть $L$ – середина $BC$, а $T$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $\angle ATK=\angle LTB$. Известно, что $BC=1$. Найдите периметр треугольника $KTL$.
Решение
Пусть точки $M$, $N$ симметричны $L$ относительно $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда $AM=AL=AN$ и $\angle MAN=2\angle BAC$. В прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ACH$ прямые $AK$ и $AL$ – медианы, следовательно, $\angle CAK=\angle LAB$ и $\angle NAK=\angle NAC+\angle CAK=\angle CAL+\angle LAB=\angle BAC$. Значит, $AK$ – биссектриса угла $MAN$ и $KM=KN$ (см. рис.). С другой стороны, $KM=KT+TL$, т.е. периметр треугольника $KTL$ равен $KM+KL=NL=BC=1$.
Ответ
1.
Источники и прецеденты использования
