Задача 66926

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.

Решение

Пусть $\omega$ и $\omega_A$ – вписанная и вневписанная, противоположная вершине $A$ окружности. Обозначим через $t$ их общую внутреннюю касательную, отличную от прямой $BC$.

Рассмотрим инверсию с центром $A$, меняющую местами $\omega$ и $\omega_A$. Она переводит прямую $t$ в окружность $s$, проходящую через $A$, касающуюся $\omega$ внутренним образом, а $\omega_A$ внешним и касающуюся в $A$ прямой, параллельной $t$.

Поскольку прямые $BC$ и $t$ симметричны относительно внутренней биссектрисы угла $A$, касательные в точке $A$ к $s$ и описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадают. Следовательно, $s$ – окружность из условия задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	14 [9-11 кл]