|
|
 |
Условие
Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?Решение
Для начала покажем, что существует прямоугольник, который можно разрезать на 4 подобных ему прямоугольника разного размера. На приведенных ниже рисунках показано, что для произвольного $x$ существует прямоугольник, который можно разрезать на 4 прямоугольника с отношением сторон, равным $x$ (два способа):
В первом случае все 4 прямоугольника будут подобны исходному, если $1+x^2+2+x^2=x(2x+x^3)$, откуда $x=\root 4 \of 3$. При этом, как несложно проверить, они имеют разный размер. Во втором случае все 4 прямоугольника будут подобны исходному, если $1+x^2+1+\frac{1+x^2}{x^2}=x(x+\frac{1+x^2}x)$, откуда $x=\sqrt{1+\sqrt2}$. При этом они, опять же, имеют разный размер.
Теперь перейдём к доказательству основного факта. Возьмём, для определённости, прямоугольник с отношением сторон $\root 4 \of 3$ и разобьём его на 4 прямоугольника указанным способом. Выберем меньший из них и разобьём таким же способом, и т.д. После каждого разбиения все прямоугольники имеют разный размер, так как мы разбиваем наименьший. После 33 разбиений мы получим 100 прямоугольников, что и требовалось.
Замечание. Как известно, существует разрезание квадрата как на 25, так и на 26 различных квадратов (см. Квадрирование квадрата). Проведем разрезание на 25 квадратов, потом разрежем меньший из них на 26 квадратов. Получится разрезание на 50 квадратов. Повторив такую операцию еще дважды, получим разрезание квадрата на 100 различных квадратов.
