Задача 66883
|
|
 |
Условие
Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?Решение
Пусть корни многочлена из условия — числа $x_1,\ldots, x_n$. Выберем $n$ различных направлений на плоскости и возьмём $x_1$ прямых первого направления, $x_2$ — второго,..., $x_n$ — $n$-го направления.
Тогда, по формулам Виета, число прямых $x_1+\ldots+x_n$ будет равняться $a$, а число их точек пересечения между собой будет равняться $b$, если только никакие три прямые не пересекутся в одной точке. Этого можно добиться, проводя прямые последовательно: очередную прямую нужного направления выбираем так, чтобы она не задевала уже имеющиеся точки пересечения (их на каждом шаге конечное число).
