Задача 66823

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором  AE || CD  и  $AB = BC$.  Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что  BK || AE.

Решение

Пусть биссектриса угла $C$ пересекает прямую $AE$ в точке $F$, а прямая, проходящая через $B$ параллельно $AE$, пересекает отрезок $CF$ в точке $X$. Тогда  $\angle BXC = \angle DCX = \angle BCX$.  Отсюда  $BX = BC = BA$. Значит,  $\angle BAX = \angle BXA = \angle FAX$.  Следовательно,  $AX$ – биссектриса угла $A$, поэтому $X$ совпадает с $K$ и  BK || AE.

Замечания

1. На рисунке точка $F$ лежит на стороне $AE$, но в решении это не используется. Можно, впрочем, доказать, что биссектриса угла $C$ не может пересекать сторону $AB$ (а сторону $ED$ – может).

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2