ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66823
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором $AE || CD$ и AB=BC. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке K. Докажите, что $BK || AE$.

Решение

Пусть биссектриса угла C пересекает прямую AE в точке F, а прямая, проходящая через B параллельно AE, пересекает отрезок CF в точке X.

Тогда $\angle BXC=\angle DCX=\angle BCX$. Отсюда BX=BC=BA. Значит, $\angle BAX=\angle BXA=\angle FAX$. Следовательно, AX – биссектриса угла A, поэтому X совпадает с K и $BK || AE$.

Замечание. На рисунке точка F лежит на стороне AE, но в решении это не используется. Можно, впрочем, доказать, что биссектриса угла C не может пересекать сторону AB (а сторону ED – может).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .