Задача 66655

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кунгожин М.

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что

а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;

б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.

Решение

а) Из условия следует, что $CP = CM \sqrt{2} = AC / \sqrt{2}$, $CQ = BC / \sqrt{2}$. Поэтому $CS = CP \cdot CQ/ AC = BC/2 = BL$. Аналогично $CT = CM$. Следовательно, отрезки $ML$ и $ST$ симметричны относительно прямой $CN$ и их точка пересечения лежит на этой прямой.

б) Из подобия треугольников $CMP$, $QLC$ и $ACB$ получаем, что $CP = AC\cdot AB/2BC$, $CQ = BC\cdot AB/2AC$. Значит, $CS = AB^2/4AC$, $CT = AB^2/4BC$ и треугольник $CST$ подобен треугольнику $CBA$. Тогда прямая $ST$ перпендикулярна медиане треугольника $ABC$, а поскольку высота треугольника $CST$ равна $AB/4$, ее основание совпадает с серединой $ML$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	14 [9-11 кл]