Условие
Пусть $D$ – основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB > BC$. Сторона $AC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $K$ и $K_1$ соответственно, точки $I$ и $I_1$ – центры этих окружностей. Прямая $BK$ пересекает $DI_1$ в точке $X$, а $BK_1$ пересекает $DI$ в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$.
Решение
Так как точки $I$ и $I_1$ лежат на биссектрисе угла $B$, то $BD \perp BI$. Поэтому точки $B$, $K$ лежат на окружности с диаметром $BI$, а точки $B$, $K_1$ – на окружности с диаметром $BI_1$. Следовательно, $\angle YDK = \angle IBX$, $\angle YBI_1 = \angle KDX$, $\angle YBX = \angle YDX$ и точки $B$, $D$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности. Поэтому $\angle XYD = \angle XBD = 90^{\circ} - \angle YDK$, т.е. $XY \perp AC$.
Источники и прецеденты использования
