|
|
 |
Условие
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.Решение
Число $11^k$ является $n$-значным, если $10^{n-1} < 11^k < 10^n$, т. е. $n-1 < k\lg 11 < n$. Значит, $n=[k\lg 11]+1$. Если $k\leqslant 24$, то $k\lg 11 < k+1$ (и значит, $n=k+1$), так как $ k (\lg 11 - 1)\leqslant 24\cdot 0,0415=0,996 < 1$. Если $k\geqslant 25$, то $k\lg 11 > k+1$ (и значит, $n \geqslant k+2$), так как $k(\lg 11 - 1) \geqslant 0,041\cdot 25=1,025 > 1$.
Комментарий.
Можно показать, что натуральные степени числа 11 не бывают $n$-значными числами для $n= \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]+1$, $k\in\mathbb{N}$, т. е. при $n=26,51,76,101,126,\ldots$
Последовательность вида $[\alpha n]$, где $\alpha>0$ иррациональное, называется последовательностью Битти в честь американского математика С. Битти, предложившего в 1926 г. такую задачу: доказать, что если $\alpha,\beta>1$ иррациональны и $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей $[\alpha n]$, $[\beta n]$, $n\in\mathbb{N}$ (назовем их сопряженными). Последовательности значений $n$, для которых степени числа $11$ есть среди $(n+1)$-значных чисел и для которых их нет, суть сопряженные последовательности Битти $[k\lg 11]$ и $\left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]$, $k\in\mathbb{N}$, соответственно ($\alpha=\lg 11=1{,}0413\ldots$, $\beta=\frac{\lg 11}{\lg 11-1}=25{,}1588\ldots$).
