|
|
 |
Условие
а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.
б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.
Решение
а) Представим себе, что кубик сложен из восьми единичных кубиков, и посмотрим на закрашенный на рисунке кубик.
Что бы Буратино ни написал на его нижней грани, требование Мальвины будет нарушено. Если там будет крестик, то нолик на его передней грани будет граничить с тремя крестиками. Если там будет нолик, то крестик на боковой грани будет граничить с тремя ноликами.
б) Существуют (с точностью до поворотов куба) три различные расстановки крестиков и ноликов. Можно (рис. 1) на верхней грани нарисовать нолики, на нижней крестики, а боковые грани разметить «слоями». Второй способ (рис. 2) заключается в том, чтобы представить себе куб сложенным из восьми единичных кубиков (на четырёх из которых нарисованы только крестики, а на четырёх только нолики) в шахматном порядке. Наконец, третий способ представлен на рисунке 3. Невидимые грани будут размечены «противоположно» видимым: в клетках, симметричных относительно центра кубика клеткам с крестиками, стоят нолики, и наоборот.
