ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66491
Тема:    [ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доску $2018\times 2018$ клеток положили без наложений некоторое количество доминошек, каждая из которых закрывает ровно две клетки. Оказалось, что ни у каких двух доминошек нет общей целой стороны, т. е. никакие две не образуют ни квадрат $2\times 2$, ни прямоугольник $4\times 1$. Может ли при этом быть покрыто более 99% всех клеток доски?

Решение

Построим «паркет», в котором чередуются ряды вертикальных $2\times 1$ и горизонтальных $1\times 2$ доминошек. На рисунке эти ряды показаны серым и белым цветом для доски $12\times 12$ (непокрытые клетки доски закрашены чёрным).

Похожий пример можно построить и для доски размером $2018\times 2018$. Непокрытыми могут остаться лишь некоторые клетки первой строки и столбца, а также последней строки и столбца. Поэтому доля непокрытых клеток от их общего числа будет не более, чем $\frac{4\cdot 2017}{2018\cdot 2018} < \frac{4}{2018} < 1\%$. Значит, будет покрыто более $99\%$ всех клеток доски.


Ответ

Да, может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 81
Год 2018
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .