ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66485
Тема:    [ Равносоставленные фигуры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеются одна треугольная и одна четырёхугольная пирамиды, все рёбра которых равны 1. Покажите, как разрезать их на несколько частей и склеить из этих частей куб (без пустот и щелей, все части должны использоваться).

Решение

Решим сначала обратную задачу: разрежем куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ на части, из которых можно составить две пирамиды (см. рисунок слева). Достаточно заметить, что тетраэдр $ACB_1D_1$ — правильный c ребром $\sqrt{2}a$, а оставшаяся часть куба представляет собой четыре одинаковые треугольные пирамиды, которые можно склеить в одну четырёхугольную, все рёбра которой равны $\sqrt{2}a$. В нашем случае нужно выбрать $a = \frac{1}{\sqrt2}$.

Поэтому нужно в исходной правильной четырёхугольной пирамиде $OABCD$ с вершиной $O$ провести высоту $OH$ и разрезать пирамиду плоскостями $OHA$ и $OHB$ на 4 одинаковые части (см. рисунок справа). Приклеив к каждой грани исходного правильного тетраэдра по одной из полученных частей, мы получим куб с ребром $\frac{1}{\sqrt2}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 81
Год 2018
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .