ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66319
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.


Решение

Поскольку треугольники SCE и SCF равны,  ∠SFC = ∠SEC.  Аналогично  ∠SEB = ∠SDB  и  ∠SDA = ∠SFA.  Поэтому
SDA + ∠SEB + ∠SFC = ∠SFA + ∠SDB + ∠SEC = ½ (3·360° – (∠ADB + ∠BEC + ∠CFA)).  Но углы ADB, BEC, CFA равны углам, под которыми стороны грани ABC видны из точки ее касания с вписанной сферой, следовательно, их сумма равна 360°.


Ответ

360°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .