На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

   Решение

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый шестиугольник A₁A₂...A₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего r можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче r?

Решение

  Пусть O – центр окружности ω, а M_i – середина A_iA_i+1 (считаем, что  A₇ = A₁).
  Пример. Если взять точки A₁, A₂, A₃ близкими к вершинам правильного треугольника, а A₄, A₅ и A₆ – близкими к середине A₁A₃, то длины отрезков M₁M₄, M₂M₅ и M₃M₆ будут близки к   .
  Оценка. Заметим, что O лежит внутри шестиугольника M₁M₂...M₆. Действительно, если O лежит, например, внутри треугольника M₁A₁M₆, то ω лежит внутри треугольника A₂A₁A₆ и не может касаться всех сторон шестиугольника A₁A₂...A₆.
  Будем считать, что вершины исходного шестиугольника упорядочены против часовой стрелки. Обозначим через ∠(AB, CD) угол, на который надо повернуть вектор    вокруг A против часовой стрелки, чтобы получить вектор, сонаправленный с  
  Так как M_i лежит вне ω, то  OM_i ≥ 1.  Значит, если  120° ≤ ∠(OM_i, OM_i+3) ≤ 240°  для некоторого i, то   M_iM_i+3 ≥   .
  Предположим, что это условие не выполнено ни для какого i. Пусть j таково, что  ∠(OM_j, OM_j+3) ≤ 120°  и  ∠(OM_j+3, OM_j) ≥ 240°.  Тогда найдётся такое  k,  j ≤ k ≤ j + 2,  что  ∠(OM_k, OM_k+3) ≤ 120°  и  ∠(OM_k+1, OM_k+4) ≥ 240°.  Без ограничения общности можно считать, что  k = 4.  Тогда
120° ≤ ∠M₁OM₂ ≤ 180°  и, значит,   M₁M₂ ≥   .
  Рассмотрим выпуклый четырёхугольник M₁M₂M₄M₅. Если угол M₁ не острый, то
M₂M₅ > M₁M₂ ≥   .   Если угол M₂ не острый, то  M₁M₄ > M₁M₂ ≥   .   Пусть оба угла M₁ и M₂ острые. Тогда  90° < ∠(M₁M₂, M₄M₅) < 270°.  Так как     (потому что     и    ),  то   M₃M₆ > M₁M₂ ≥   ,   что и требовалось.

Ответ

r =   .

Источники и прецеденты использования