Задача 66209

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Дан четырёхугольник ABCD, в котором  AC = BD = AD;  точки E и F – середины AB и CD соответственно; O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что EF проходит через точки касания вписанной окружности треугольника AOD с его сторонами AO и OD.

Решение

Пусть X, Y, Z – точки касания указанной вписанной окружности со сторонами AO, OD, AD соответственно. Тогда  DY = DZ  и, значит,
BY = AZ = AX.  Кроме того,  OX = OY.  Применив теорему Менелая к треугольнику AOB и прямой XY, получим, что эта прямая проходит через E. Аналогично она проходит через F (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	6