|
|
 |
Условие
Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка (p, q), что трёхчлен x² + px + q также имеет ровно один корень.
Решение 1
Трёхчлен x² + px + q имеет один корень тогда и только тогда, когда q = p²/4. Поэтому подойдёт любая точка пересечения графика исходного трёхчлена и параболы y = x²/4. А эти графики, очевидно, пересекаются.
Решение 2
Такой трёхчлен имеет вид (x – a)². Его график содержит точку (2a, a²). Трёхчлен x² + 2ax + a² имеет один корень.
Замечания
1. Есть ещё одна подходящая точка – (2a/3, a²/9).
2. Пусть x² – px + q – произвольный приведённый трёхчлен. Его график содержит точку (p, q). График трёхчлена x² + px + q симметричен графику исходного трёхчлена относительно оси ординат. Поэтому новый трёхчлен имеет столько же корней, сколько и исходный.
3. 4 балла.
