Задача 65853

Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается числом 5^k, а десятичная запись числа 5ⁿ начинается числом 2ⁿ?

Решение 1

Если такие n и k есть, то  5^k·10^l < 2ⁿ < (5^k + 1)·10^l,  2^k·10^m < 2ⁿ < (2^k + 1)·10^m.  Перемножив неравенства почленно, получим
10^k+l+m < 10ⁿ < (5^k + 1)(2^k + 1)·10^l+m <  2·5^k·5·2^k·10^l+m = 10^k+l+m+1.  Следовательно,  k + l + m < n < k + l + m + 1.  Противоречие.

Решение 2

Пусть такие числа нашлись.  2ⁿ·5ⁿ = 10ⁿ.  Заменим в записях 2ⁿ и 5ⁿ нулями все цифры, кроме тех первых, которые составляют 5^k и 2^k. Каждое из чисел уменьшится, но не более чем в два раза. Произведение полученных чисел будет меньше 10ⁿ, но не более чем в 4 раза, поэтому оно не будет иметь вид 10...0. Однако одно полученное число равно 5^k·10^l, а другое – 2^k·10^m, поэтому их произведение равно 10^k+l+m. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2