Задача 65805

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Хилько Д.

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Решение

  Сделаем инверсию относительно окружности произвольного радиуса с центром в точке D. Образы точек будем обозначать штрихами (см. рис.).

  Описанная окружность ω₁ треугольника XDA касалась BA и BX, значит, она перейдёт в прямую A'X', а указанные прямые прямые – в описанные окружности треугольников B'DA' и B'DX', причём они будут касаться прямой X'A'. Поэтому радикальная ось B'D этой пары окружностей делит пополам отрезок X'A'. Аналогично радикальная ось DC' описанных окружностей треугольников DC'Y' и DC'A' делит пополам отрезок A'Y'. Значит, прямая B'C' – средняя линия треугольника X'A'Y', откуда  X'Y' || B'C'.  Остаётся заметить, что прообраз прямой X'Y' – описанная окружность треугольника XYD. Так как  X'Y' || B'C',  она касается прямой BC в точке D.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	17