ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65801
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.


Решение

Пусть Z – произвольная точка прямой AB, X, Y – точки пересечения перпендикуляра, восставленного из точки Z к AB, с BC и CA соответственно, O – центр описанной окружности треугольника CXY. Тогда  ∠OCA = 90° – ∠CXY = ∠B,  то есть прямая OC касается описанной окружности Ω треугольника ABC. При этом, если Z равномерно движется по AB, то O также движется равномерно, а когда Z совпадает с A или B, то O лежит на касательной в той же точке к Ω. Таким образом, если A'B'C' – треугольник, образованный касательными, то O делит отрезок A'B' в таком же отношении, в каком Z делит AB. Применив это утверждение к точкам Oa, Ob, Oc и воспользовавшись теоремой Менелая, получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
тур
задача
Номер 13

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .