ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65763
Темы:    [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³1/a³b3c³d³.

Решение

  Домножим доказываемое неравенство на a³b³c³d³, получим  a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ 1.
  Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что  a ≥ b ≥ c ≥ d.  По неравенству Коши  ab(c + d) ≤ (a+b+c+d/3)³ = 1.  Следовательно,
a³b³(c + d)³ ≤ 1.
  Значит, достаточно проверить, что  a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ a³b³(c + d)³.
  После раскрытия скобок и приведения подобных и сокращения останется очевидное неравенство  a³c²d² + b³c²d² ≤ 3a³b³c + 3a³b³d.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .