ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65640
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?


Решение

  Пример. Обозначим участников буквами А, Б, В, Г, Д. Пусть А выиграл у Б, Б выиграл у В, В – у Г, Г – у Д, Д – у А, а остальные партии закончились вничью. Условие задачи выполняется.
  Оценка. Из условия следует, что для этого турнира должны выполняться два утверждения:
  1) нет трёх игроков, все партии между которыми закончились вничью;
  2) нет игроков, в партиях между которыми не было ничейных результатов.
  Предположим, что в турнире участвовало не менее шести игроков. Оставим только их и нарисуем полный граф с шестью вершинами (соответствующим этим шести игрокам), где синие ребра соответствуют результативным партиям, а красные – ничейным. Согласно задаче 30815 в нём есть три вершины, все рёбра между которыми одного цвета. Но это противоречит только что сформулированным утверждениям.


Ответ

5 актеров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 14 (2016 год)
Дата 2016-03-20
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .