|
|
 |
Условие
Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?
Решение
Пример. Обозначим участников буквами А, Б, В, Г, Д. Пусть А выиграл у Б, Б выиграл у В, В – у Г, Г – у Д, Д – у А, а остальные партии закончились вничью. Условие задачи выполняется.
Оценка. Из условия следует, что для этого турнира должны выполняться два утверждения:
1) нет трёх игроков, все партии между которыми закончились вничью;
2) нет игроков, в партиях между которыми не было ничейных результатов.
Предположим, что в турнире участвовало не менее шести игроков. Оставим только их и нарисуем полный граф с шестью вершинами (соответствующим этим шести игрокам), где синие ребра соответствуют результативным партиям, а красные – ничейным. Согласно задаче 30815 в нём есть три вершины, все рёбра между которыми одного цвета. Но это противоречит только что сформулированным утверждениям.
Ответ
5 актеров.
