ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65573
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число
  a) встретится хотя бы на одной из полосок;
  б) встретится на бесконечном числе полосок.


Решение

а) Пусть перед числом  abcdefg0  в записи встретилось  7k – r  цифр  (0 ≤ r < 7).  Тогда перед числом  abcdefgr  встретится  (7k – r) + 8r = 7(k + r)  цифр. Значит, оно начнётся сразу после разреза, и из него будет вырезана полоска с числом  abcdefg .

б) Как видно из а), полоска  abcdefg  будет вырезаться из любого фрагмента  abcdefg0abcdefg1...abcdefg6,  которые встречаются бесконечное число раз в начале “длинных” чисел.

Замечания

Баллы: 3 + 1

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .