ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65564
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром I лежит внутри окружности с центром O. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IAB, где AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей.


Решение

  Пусть R – радиус большей, a r – радиус меньшей из данных окружностей,  d = OI,  K – точка касания хорды AB с меньшей окружностью.
  Если M – такая точка, что  OMAB,  то OM и IK параллельны и


  Пусть M – центр описанной окружности треугольника IAB. Тогда прямая OM – серединный перпендикуляр к AB, поэтому выполнено вышеприведённое равенство. А так как  MA = MI,  то     Знака минус, однако, быть не может, так как  R > d,  поэтому  
  Обратно, пусть M – такая точка, что     Рассмотрим хорду AB большей окружности, касающуюся меньшей в такой точке K, что    и    сонаправлены. Тогда M лежит на диаметре, перпендикулярном к хорде AB, и поэтому  MA = MB.  Кроме того, выполнено приведённое выше равенство, причём     Подставив туда значение OM, получим  MA² – MI² = 0,  то есть  MI = MA = MB.  Следовательно, M – центр описанной окружности треугольника IAB.


Ответ

Окружность с центром O и радиусом  R²–OI²/2r,  где R и r – радиусы данных окружностей.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .