Задача 65555

Темы:    [ Треугольники (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.

Решение

В неравнобедренном треугольнике подходят точка пересечения высот, точка пересечения биссектрис и центр описанной окружности (эти точки различны, так как сторона, лежащая против угла, отличного от 60°, видна из них под разными углами). В равнобедренном треугольнике подойдут любые три точки на высоте, из которых основание видно под "рациональными" углами (боковые стороны, ввиду симметрии, видны под равными углами, значит, и эти углы "рациональны").

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1